上周三，我和大家分享了我和吴军老师对话的上篇（点击文末相关阅读可回顾），今天下篇来啦，涉及到更多孩子学习数学的具体方法。
他毕业于清华大学和约翰霍普金斯大学，是前谷歌高级资深研究员、谷歌自动问答系统和许多创新产品的负责人、原腾讯副总裁、计算机科学家、工业和信息化部顾问、人工智能、自然语言处理和网络搜索专家。
他的两个女儿还被世界顶级大学录取，大女儿毕业于麻省理工学院，小女儿今年将进入约翰霍普金斯大学。
吴军老师文理兼修，还是一个畅销书作者，我以前就给大家推荐过他的《见识》和《态度》，最近他又写了一本新书——《给孩子的数学课》。
我从这本书出发，问了他很多关于孩子数学学习的问题，今天的下篇包括：
4.Q：今年国内发布了“新课标”，提出要培养孩子的一项关键能力——在真实情境下解决实际问题的能力。读了您的《给孩子的数学课》，我更加认识到，除了是理工学科的基础，数学还能解决很多现实问题，比如GPS 离不开圆周率，盖金字塔会用到勾股定理，同余用于密码学，图论算法用于打车软件等等。那么，您觉得要培养孩子的实际问题解决能力，老师和家长能做些什么呢？
这个问题我这么看，既然谈到了实践动手，你就得做真正实践动手的事儿，如果是自己制造的一个假问题，所谓的这种实践动手，那就没意思了。我有些朋友，他们孩子在中国上一些国际学校，然后他们搞一些类似于解决问题的工程，还有一次比赛让我当评委，我就说这些问题都是自己在那里创造出来的，虽然也让孩子练习了动手能力运用了他学的知识，但还不是真正的实践和解决实际问题。
这儿我还是拿美国的例子来对比一下。我看到一个数据，约翰霍普金斯大学2022年录取的2000多名学生中，80%多的在高中暑假做过科研、实习或打工。科研是在大学的实验室里做的，实习是在大公司中。当然，即使是在麦当劳打工，也是真刀真枪做过社会实践。
美国不少高中生已经在世界顶级的会议和学术杂志上发表论文了，我看我女儿周围的同学，如果能申请到美国前十大学的，可能至少一半是发表过真正论文的，即所谓的同行评议过的论文，而不是花钱就能发表的论文。
我的两个女儿，高中时都在顶级的实验室做过两个暑假的研究工作。大女儿发表过一篇会议论文，并且作为那个很有影响力的学术会议历史上第一位高中生参加了会议。小女儿两个暑假，和同事们写了两篇论文，一篇已经发表在杂志上了，引用数相当高。另一篇已经投稿到一份顶级的杂志了。我看了看她们同学的简历，发表过论文的人非常多，甚至有些人的论文得了奖。
5.Q：请问您如何看待刷题这件事？您会让您女儿刷题吗？如何科学地刷题？
一般来说，学数学的关键是要把这个道理学懂，然后就是刚才你说的举一反三，从小学五六年级就要开始培养孩子，同样一类的问题，他做两道题这个问题就懂了，然后第3题第4题第5题一直做到第10题自动就会了。
但这个你不能靠刷10道题，然后考试时蒙上一道题，因为世界上的问题是无限的，你哪里刷得过来。到了初中，就要培养演绎推理到能力，老师讲了1，2，3，自己要有能力通过逻辑，推出更多的结论4，5，6。数学真正学得好的人其实是不靠刷题的，这和背英语单词不一样，关键还是要懂得背后的道理和原理。
所有学得好的学生，还都有一个共同特点，就是他们比较主动，不懂的问题，敢去问老师敢去答疑。
学得差的学生有两种：
一种他根本就不在乎，差就差了，不懂就不懂了，反正越学越差。家长逼着他刷题也没用，即使是刷过的题目，考试是遇到同样一道题，他还能给你做错了。
第二种孩子，都比较怕老师，害羞，尤其是初中以前的孩子。遇到问题他不懂，他不敢去问老师，也不告诉家长，然后最后一考试发现他们都不懂，这种情况也挺常见的。
但凡学得好的孩子，就不一样，我看我周围的人，答疑多也就是提问题多的，那都是学得好的，学不好的人都闷声不响。确实就是，你有多主动，最后就有多好的结果。学数学的第一个关键是把问题学懂。
要是说到，如何通过做不多的题有效提升成绩，最有效的办法，就是如果能找到一个很好的老师，了解这个学生到底是哪儿没学好，把他没学好地方重新讲一遍，然后让他在这个地方做几道题，把它做会了，然后再进入下一步学习，下一个没学好的知识点再给他补上。其实也就是因材施教，针对学生去指导，提高迅速，也不用刷太多题。
6.Q：关于数学学习的流程：纠错是不是很关键？我孩子初中时数学老师说，每天放学，不要急着先做今天的新题目，而是应该先纠错，看看昨天你有哪些错题，背后是不是有的概念没弄清，那你就先去复习概念，想办法搞懂弄清，然后再开始第二天的学习。您看这个流程正确吗？
7.Q：关于粗心：有些家长觉得孩子数学不好，是因为孩子粗心，但我从您以前写的书，也从自己的经验发现，其实粗心背后有很多问题，并不是说拿一个粗心做借口就能掩盖过去的、比如说有的孩子字迹很不清楚，抄着抄着就错了，或者是审题时没有划出关键字，比如挑出正确答案还是错误答案，看反了……对于“粗心”，您有什么看法和建议？
是的，还有重要的一点是，概念还没搞懂——孩子自己都不知道自己懂没懂，或者似是而非好像懂了其实没真懂，然后找不着原因，就在说粗心。
举个例子，我给你出一个很简单的数学题吧：什么数字自己乘以自己等于4。
我 ：(乍一听有点懵，以为有什么陷阱，犹豫了一会儿)：…… 2×2对吧？
吴军：非常好，我和你讲为什么举这个例子啊，其实最早不是我举的，是已故的著名物理学家张首晟教授举的。有一次他做讲座，在座的都是一些工程师了，他就问大家这么一道题，全场除了我以外，所有人都只说一个2×2，就把-2忘了。
这个就不是粗心，是基本概念没搞懂。当你学到初中数学的时候，你就必须要有负数的概念的，知道世界上不光有正数，还有负数，只有你把负数的概念印到你基因里，你才是真正学会了。
很多孩子犯的所谓的粗心错误，其实也是这一类的错误，还是概念不清楚。
8.Q：我家里有很多您写的书，比如《见识》《态度》《格局》《阅读和写作讲义》《数学通识讲义》《全球科技通史》等等，非常喜欢您的文字，不仅思路清晰，言之有物，也真诚质朴，表达到位，您是如何做到文理兼修的？对于孩子的通识教育，您又有什么样的建议？
第一个是从实用主义的角度来讲，因为你不知道孩子将来要干什么，孩子他是经常改变主意的，所以通识教育的基础很重要，因为将来做很多事情都需要用到，比如说数学思维，比如说语文说写作——不是说你当作家才要学写作。
很多人工作四五年，连邮件都写不清楚，这就有大问题对吧？很多人老说什35岁危机，什么职业发展天花板，你可以想象，如果一个人表达不清晰，邮件都写不清楚，他不可能在这个单位里最后能做到高层。
今天咱们虽然聊的是数学，但实际上，假设所有的孩子只能上一门课，没有第二门课的话，这门课应该是语文，甭管干什么，语文是最重要的。
然而，从另一个方面来讲，我们刚才聊的数学的基本思维方式，不管你学理科还是文科，都需要具备，不是说你学文科就可以把它放弃掉了。比如说你在一个投行里写一个研究报告，其实和写学术论文是没有什么差别的，论文背后这一套就是逻辑思维、理科思维。
刚才是从最实用的角度来讲，为什么通识教育很重要。如果从高尚一点的角度，或者说不那么实用的角度来讲，如果你想要走得高一点远一点，却只能做一些具体的事，也就是你只掌握了一些养家糊口的技能，那你就成为不了层次太高的人。
通识教育在英语里叫 LIBERAL ARTS, 这LIBERAL 怎么来的？LIBERAL是自由的意思，是古希腊自由民（相对奴隶而言）学的知识，ARTS不光指艺术，它包括所有的知识，也包括数学、音、乐修辞等。像苏格拉底就是自由民，他不需要考虑生存的问题，每天他就觉得自己是希腊的主人，因此把时间都花在了考虑自由民才需要考虑的问题上了。
一个人，无论将来是到企业也好，到其他类型的单位也好，你如果只把自己当成一个奴隶，说我做份工挣口饭，你就学个技能就行了。但是，如果你在社会上把自己当成社会的主人，在企业里你把自己当成企业的主人，你要学的东西就要多一点了，这就是通识教育。
看了这篇文章，你对孩子数学学习，有什么样的启发和收获？或者还有什么其他疑问？欢迎你留言分享。